集合及运算

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集合及运算

并与交

差与补

定理 \(\text{De. Morgan}\) 法则

• 1. \(\left(\bigcup\limits_{a\in I}A_\alpha\right)^c=\bigcap\limits_{a\in I} A_\alpha^c\).
  2. \(\left(\bigcap\limits_{a\in I}A_\alpha\right)^c=\bigcup\limits_{a\in I} A_\alpha^c\).

集合列的极限

定义

• 设 \(\{A_k\}\) 是一个集合列. 若 $$ A_1\supset A_2\supset \cdots\supset A_k\supset\cdots, $$ 则称为递减结合列.
  并称交集 \(\bigcap\limits_{k=1}^\infty A_k\) 为该集合列的极限集, 记作 \(\lim\limits_{k\to\infty}A_k\).

  同理若 \(A_1 \subset A_2\subset\cdots\) 可类似定义递增集合列, 并且其极限集 \(\lim\limits_{k\to+\infty}=\bigcup\limits_{k=1}^\infty A_k\).

定义

• 设 \(\{A_k\}\) 是一集合列, 令 $$ B_j=\bigcup\limits_{k=j}^\infty A_k,\quad(j=1,2,\ldots). $$

  显然 \(\{B_j\}\) 是递减集合列, 我们称 $$ \lim\limits_{k\to\infty} B_k=\bigcap\limits_{j=1}^\infty B_j=\bigcap\limits_{j=1}^\infty\bigcup\limits_{k=j}^\infty A_k $$ 为集合列 \(\{A_k\}\) 的上极限集, 简称为上限集, 记为 \(\varlimsup\limits_{k\to\infty} A_k.\)

  类似的可以定义下极限集 \(\varliminf\limits_{k\to\infty}=\bigcup\limits_{j=1}^{\infty}\bigcap\limits_{k=j}^{\infty} A_j\).

  若上下极限集相等, 则说 \(\{A_k\}\) 的极限集存在记作 \(\lim\limits_{k\to \infty}A_k\).

定理

• 若 \(\{A_k\}\) 为一集合列, 则

  1. \(\varlimsup\limits_{k\to\infty} A_k = \{x:\forall\ j\in \mathbb{N},\ \exists\ k\in \mathbb{N}(k\geqslant j),\ x\in A_k\}\).
  2. \(\varliminf\limits_{k\to\infty} A_k=\{x:\ \exists\ j_0\in \mathbb{N},\ s.t.\ x\in A_k\ \text{when}\ k\geqslant j_0\}\)

  这意味着, \(\{A_k\}\) 的上限集是由属于 \(\{A_k\}\) 中无穷多个集合的元素所形成的; \(\{A_k\}\) 的下限集是由只不属于 \(\{A_k\}\) 中有限多个集合的元素所形成的. 从而有 $$ \varlimsup\limits_{k\to\infty} A_k\supset \varliminf\limits_{k\to\infty}A_k. $$

例

• 设 \(\{f_n(x)\}\) 以及 \(f(x)\) 是定义在 \(\mathbb{R}\) 上的实值函数, 则使 \(f_n(x)\) 不收敛于 \(f(x)\) 的一切点 \(x\) 所形成的集合 \(D\) 可表示为 $$ D=\bigcup\limits_{k=1}^\infty\bigcap\limits_{N=1}^\infty\bigcup\limits_{n=N}^\infty\left\lbrace x:|f_n(x)-f(x)|\geqslant\dfrac{1}{k}\right\rbrace . $$

证明

• 考虑 $$ \begin{aligned}
  &x\in{f_n(x)\ \text{不收敛于}\ f(x)}\\ \Leftrightarrow&\exists\varepsilon>0,\forall N\geqslant 1,\exists\ n_0\geqslant N,s.t.\ |f_n(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon\\ \Leftrightarrow&x\in\bigcap\limits_{N=1}^\infty\bigcup\limits_{n=N}^\infty{x\in\mathbb{R}:|f_n(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon}\\ \Leftrightarrow&\exists k\geqslant1,\ \varepsilon\geqslant\dfrac{1}{k},s.t.\ x\in\left\lbrace x:|f_n(x)-f(x)|\geqslant\dfrac{1}{k}\right\rbrace \\ \Leftrightarrow& x\in \bigcup\limits_{k=1}^\infty\bigcap\limits_{N=1}^\infty\bigcup\limits_{n=N}^\infty\left\lbrace x:|f_n(x)-f(x)|\geqslant\dfrac{1}{k}\right\rbrace
  \end{aligned} $$